MOUVEMENT DE POINSOT

Ce cours de mécanique classique est la base de tout contrôle d'attitude d'un satellite. Sa connaissance et les notions qui en dérivent sont indispensables à toute étude de SCAO, ou du moins de contrôle d'attitude(CA) ou de centrale inertielle..

I DEFINITION :

Nous nous intéressons ici au mouvement autour du centre d'inertie d'un satellite ou d'une station spatiale, en orbite autour d'un astre. Nous savons que l'altitude d'orbitation est au dessus de 200 km, pour éviter le frottement atmosphérique, donc la seule force importante est la gravitation.

Nous pouvons donc admettre avec une excellente approximation que :

1 - Cette force passe toujours par le centre d'inertie G du satellite ( ce qui n'est vrai que si la matrice d'inertie du satellite est sphérique, voir gradient de gravité ).

2 - Les forces perturbatrices sont faibles et ont un moment en G négligeable ( nous verrons plus loin les problèmes qui se posent lorsque leur action se prolonge dans le temps)

3°) Notations :

S désigne le satellite, Ra la base inertielle I J K, R le repère i j k ou x₁x₂x₃ lié à S, G le centre d'inertie.

Le vecteur rotation absolu, traduit en axes relatifs du repère R
La matrice centrale d'inertie du satellite dans les axes de R
Le moment MG calculé en G de l'ensemble des actions extérieures

2°) Définition du mouvement de POINSOT :

On dira que dans un repère inertiel, un solide S est animé d'un mouvement de POINSOT lorsque le moment calculé en son centre d'inertie G des forces extérieure s'exerçant sur lui est constamment nul.

Ce solide peut être soumis à une résultante des forces extérieures non nulle. C'est elle qui assurera le mouvement du centre d'inertie.

3°) Exemples :

 Tout satellite d'un astre

 Toute planète ( considérée comme un solide )

 Tout corps en chute libre à vitesse faible ( permettant d'oublier les forces aérodynamiques ).

II EQUATIONS D'EVOLUTION :

Nous nous intéressons tout particulièrement au mouvement autour du centre d'inertie, et donc essentiellement à la rotation instantanée. Nos inconnues sont donc p, q, r.

La mécanique générale et le théorème du moment cinétique, appliqué au satellite, en son centre d'inertie

et projeté sur les axes mobiles du repère R lié au satellite, donnent le système d'équations (I):

Les conditions initiales sont évidemment :

III INTERPRETATION DU MOUVEMENT :

Vous trouverez dans tous les ouvrages de mécanique classique, le traitement du cas général, au demeurant assez complexe.

1°) CONSERVATION DU MOMENT CINETIQUE :

Le théorème du moment cinétique montre naturellement qu'en présence d'un moment nul, le moment cinétique du satellite se conserve indéfiniment dans un repère inertiel.

Nous pouvons donc en déduire une intégrale première du mouvement, la conservation de la norme du moment cinétique ou de son carré :

REM0ARQUE :

Même si le résultat peut paraître prématurée, il faut l'annoncer, car il est fondamental : La conservation du moment cinétique du solide se traduit par cette propriété géométrique : LE VECTEUR MOMENT CINETIQUE POINTE INDEFINIMENT LA MÊME DIRECTION ( MÊME ETOILE).

Ainsi, même si technologiquement c'est difficile à réaliser, pour les besoins d'une navigation spatiale si l'on veut savoir comment est orienté un véhicule dans l'espace, il suffit d'emporter 3 solides, chacun lancé "à la Poinsot", suivant 3 directions si possible orthogonales, on MEMORISE donc mécaniquement un repère de directions galiléennes.

Nous touchons donc là à un des fondements de la navigation inertielle, nous aurons l'occasion d'y revenir plus tard.

3°) CONSERVATION DE L'ENERGIE CINETIQUE DE ROTATION :

Si nous multiplions chacune des équations du système (I) respectivement par p, q, r et si nous sommons membre à membre ces 3 équations, nous obtenons :

Ce qui n'est autre que le double de l'énergie de rotation autour du centre d'inertie

Exemple de conséquences :

Notre bonne terre, possède avec une excellente approximation, un mouvement de Poinsot et voit donc son moment cinétique pointer toujours la même étoile ( étoile polaire) et garder son énergie de rotation , ce qui nous vaut une durée du jour solaire moyen bien régulière de 24 h ou une période sidérale constante de 86164 s.

4°) CAS PARTICULIER D'UNE IMPORTANCE CAPITALE :

 Nous traitons le cas particulier où à l'instant initial le vecteur rotation instantanée est porté par l'un des axes principaux d'inertie. Par exemple par l'axe n° 3. Ainsi nous avons p(0) = q(0) = 0, r(0) = W.

a) Le mouvement :

Les mathématiques nous apprennent que ce genre de système différentiel, ne possède qu'une seule solution répondant aux conditions initiales. En mécanique il n'y a qu'un seul mouvement possible.

Or si nous adoptons les fonctions p(t) = q(t) = O et r(t) = W, elles satisfont parfaitement au système (I) et aux C I .

Solution cherchée :

P(t) = q(t) = 0, r(t) = W

La conservation, en repère inertiel, du moment cinétique donne :

L'axe portant la rotation initiale reste fixe dans un repère inertiel. La rotation axiale se conserve donc.

CONCLUSION 1:

Si la rotation initiale d'un solide à la Poinsot est portée par l'un des axes principaux d'inertie, alors cet AXE RESTE FIXE EN REPERE INERTIEL et la ROTATION SE CONSERVE.

NB 1 : Nous avons ainsi, une meilleure façon de pointer une étoile. Il suffit de lancer en rotation un solide de révolution autour de son axe de révolution. Cet axe restera fixe par rapport aux étoiles.

EXEMPLES : Ils sont nombreux :

- Mise en rotation des obus ou des balles pour stabiliser l'orientation

- Mise en spin des satellites, lors d'une phase de lancement, afin de le placer dans une attitude et direction 0connues, permettant de le prendre en main dans une configuration que l'on maîtrise.

- Chapeau meurtrier de James Bond

- Mise en rotation d'un anneau au jeu de l'anneau et de la bouteille

- Les planètes et leurs anneaux éventuels

- Lancer du disque, freesbies

- Gyroscopes etc....

b) Le mouvement est-il stable ?

C'est évidemment une question importante, car à quoi servirait une mise en rotation et un pointage réussi, si la moindre perturbation détruisait ce mouvement.

Utilisons la technique des petits mouvements commençants, ce qui veut dire que nous supposons qu'au départ la rotation n'est pas exactement sur l'axe n°3, ou encore :

Comme nous avons affaire à des solutions dérivables, elles sont donc continues et pendant un "certain temps" vont rester continues ( ne m'obligez pas à manipuler les e et h ce qui n'apporterait rien de plus), p(t) et q(t) resteront donc petites et r voisine de W, permettant de linéariser le système qui devient :

Après élimination de l'une ou l'autre des variables il vient :

Ces deux équations ne donneront une stabilité que si les solutions sont sinusoïdales, ce qui ne peut arriver que si le moment d'inertie I₃ est ou le plus grand ou le plus petit des 3 moments d'inerties.

CONCLUSION 1:

Le mouvement de rotation autour d'un des axes principaux d'inertie, ne conduira à un pointage stable que si ce moment d'inertie est ou le plus grand ou le plus petit des moments d'inertie.

NB : Une étude plus poussée montre (voir plus loin) qu'en présence d'une dissipation interne d'énergie ( amortissement visqueux, ballottements de liquides, ....) seule la rotation autour du grand axe d'inertie est stable.

EXEMPLES :

- La terre est en mouvement stable, grâce au renflement équatorial qui profite au moment d'inertie axial.

- Le disque du lanceur de disque, le chapeau de James Bond,...sont presque plats et donc l'inertie axiale est la plus grande.

- En somme il vaut mieux faire tourner un disque qu'un crayon.

IV CAS PARTICULIER DES SOLIDES INERTIELLEMENT ASSIMILABLES A UN CYLINDRE :

Nous nous intéressons plus spécialement aux solides ayant 2 moments d'inertie égaux. Nous supposerons donc que ce sont I₁ = I₂ ., le solide se comporte donc comme un cylindre homogène d'axe k.

Il se trouve que dans ce cas là, au demeurant communément rencontré, la résolution peut être menée à son terme, ce qui nous amène à la faire ( la méthode n'est d'ailleurs pas unique).

La figure ci dessous illustre le propos. Elle correspond au cas d'un cylindre plus proche du disque que du "crayon, I₁ = I₂ < I₃.

1°) Notations et définitions:

Pour éviter les indices et sacrifier à l'habitude, nous posons I₁ = I₂ = A et I₃ = C.

a) Le vecteur rotation est décomposé en 2 parties, la rotation axiale r et la rotation transversale w.

b) La nutation :

Le mot nutation recouvre 2 notions :

 Un angle, l'angle q entre l'axe satellite k et le moment cinétique.

 Le mouvement de l'axe k du satellite, que nous décrivons plus loin.

La figure montre l'angle de nutation q

2°) Les intégrales premières du mouvement :

Nous traduisons la conservation du moment cinétique et de l'énergie de rotation du solide en axes inertiels.

Le moment cinétique s'écrit alors:

Son module est H , ou mieux son carré se conserve, valant :

qui est une intégrale première du mouvement

L'énergie cinétique ou mieux son double qui est également une constante du mouvement vaut :

c'est une autre intégrale première du mouvement.

3°) INTERPRETATION DU MOUVEMENT :

Géométriquement le lecteur se convaincra que les vecteurs, moment cinétique, rotation absolue, rotation axiale, axe n°3 de coordonnées, sont coplanaires.

Les équations (1) et (2) donnent puisque A et C sont des constantes:

" DANS UN MOUVEMENT DE POINSOT LA NORME DE LA ROTATION TRANSVERSALE ET LA NORME DE LA ROTATION AXIALE SE CONSERVENT"

Attention, nous avons bien dit les normes et non les vecteurs concernés( rotation axiale et transversale).

Nous savons que le moment cinétique H reste fixe en repère inertiel. Intéressons nous maintenant à la nutation, angle ou mouvement.

La figure montre l'angle de nutation q, et la formule suivante son expression :

"L'ANGLE DE NUTATION q RESTE CONSTANT DANS LE TEMPS ET L'AXE k DU SATELLITE DECRIT UN CONE FIXE,DE DEMI-OUVERTURE q constante ET D'AXE LE MOMENT CINETIQUE fixe dans l'espace inertiel". C'est la notion de RAIDEUR GYROSCOPIQUE

NB : Ainsi si à l'instant initial t = 0, la rotation initiale est portée par l'axe principal d'inertie k, la rotation transversale initiale w_o est nulle entraînant q = 0 durant tout le mouvement et donc un pointage parfait. La stabilité apparaît aussi de manière évidente, puisque si w_o est voisine de 0, alors l'angle q reste petit et le dépointage de l'axe satellite reste faible.

APPLICATIONS PRATIQUES :

 Lors d'une mise en orbite, le dernier étage du lanceur "injecte" la charge utile dans l'espace. Le propriétaire du satellite est alors chargé de la mise en œuvre opérationnelle du satellite. Il demande donc à ce que lesatellite soit dans une configuration stable, lui permettant de le "prendre en main" aisément. Cette requête est satisfaite par la mise en spin de la charge utile, dès la séparation d'avec le dernier étage.

 Cette mise en spin du satellite est aussi utilisée dans certains modes de survie d'un satellite, lorsqu'un problème sérieux intervient à bord, que les ingénieurs au sol ne peuvent pas résoudre sur le champ. Le spin présente, outre l'avantage d'une orientation connue, d'éviter par une rotation axiale continue, dite MODE BARBECUE, de réduire en le moyennant l'échauffement du aux rayons solaires.

 Il arrive quelquefois, de plus en plus rarement, que soit utilisée dans une phase propulsée, une phase balistique intermédiaire où seule la gravitation est en jeu. On stabilise alors le satellite en le "spinnant".

 En gyroscopie, dans les appareillages sophistiqués que sont les centrales inertielles, les centrales gyroscopiques, les gyromètres, les systèmes de visée sur véhicules rapides, ....le pointage parfait est une nécessité. Comme la présence d'une rotation transversale et de déséquilibres la provoquant est inéluctable, le seul moyen de limiter le dépointage est la mise en rotation ultra rapide à la limite de la tenue des matériaux.

EXEMPLE : Pour un disque plat, avec une rotation transversale est de l'ordre de 6°/mn, et un spin de seulement 2 tours/mn, l'angle de nutation est de l'ordre de 0°.25, autant dire imperceptible.

CALCUL DE LA PERIODE DE NUTATION :

Nous avons montré que l'axe du satellite décrivait un cône. Une réflexion simple montre que des 2 composantes de la rotation, c'est la rotation transversale w qui est responsable du mouvement conique et donc du dépointage de nutation. En gyroscopie w est l'ennemi numéro 1.

Le croquis ci-contre montre :

- Le point P extrémité du vecteur unitaire k de l'axe satellite.

- Le vecteur rotation transversale w responsable du mouvement conique.

- Le cône décrit par P

- La vitesse Va(P) créée par la rotation transversale.

Le lecteur curieux utilisera ses connaissances sur le mouvement circulaire, appliquées à P pour montrer que la période du mouvement de nutation de P sur le cône vaut :

REMARQUE :

Lorsque l'angle q de nutation est petit, notamment en pointage satellite ou en gyroscopie, sinq, q, tgq peuvent être confondus ce qui donne une période

l s'appelle l'ALLONGEMENT INERTIEL.

VI CAS PARTICULIER DES SATELLITES INERTIELLEMENT ASSIMILABLES A UN CYLINDRE ET COMPORTANT DES DISSIPATIONS INTERNES :

La présence de réservoirs d'ergols, de fluides visqueux, dans un satellite, crée par viscosité ou ballottements une dissipation interne d'énergie.

Bien que la théorie ne relève pas exactement du mouvement de Poinsot, puisque nous n'avons plus à faire à un vrai solide, nous pouvons garder toutes les notations précédentes et aborder le problème en revenant aux sources mêmes.

HYPOTHESES : Moment extérieur nul, ensemble de révolution inertielle et dissipation uniquement interne d'énergie.

THEORIE :

(Résultat 1) Le moment cinétique se conserve en espace absolu et notamment son carré H².

(Résultat 2) L'énergie cinétique décroît dans le temps.

Nous exprimons donc q et ces 2 quantités en fonction des notations de Poinsot.

La traduction de T2 conduit par dérivation à :

REMARQUES :

CAS N°1 : C'est le cas d'un solide plus près du disque que du "crayon", où une dissipation d'énergie interne a un effet stabilisant, permettant de réduire la nutation. L'axe du solide tend vers un pointage inertiel fixe sans précession. Le CONTROLE DE NUTATION peut être PASSIF, soit à l'aide d'une viscosité volontaire interne ou de magnétocoupleurs en interaction avec le champ magnétique terrestre.

CAS N°2 : C'est le cas d'un solide plus près du "crayon" que du disque, où une dissipation d'énergie interne a un effet déstabilisant augmentant la nutation jusqu'à 90°n, c'est le phénomène de FLAT-SPIN. Le maintien de q = 0° nécessite donc un CONTROLE ACTIF DE NUTATION

VII COMPLEMENT DESTINE AUX ENSEIGNANTS DE MECANIQUE QUI UTILISENT MATLAB et SIMULINK :

Vous trouverez dans ce chapitre de quoi aiguiser votre curiosité, avec l'application des quaternions à la simulation du mouvement de Poinsot.

Les quaternions sont particulièrement utiles lors de toute étude où le vecteur rotation est capital et surtout lorsque l'orientation du mobile étudié peut être quelconque. Il est clair que pour le mouvement de Poinsot, une telle étude ne s'impose pas, par contre elle montre une mise en œuvre simple des quaternions.

Programmes récupérables dans le téléchargement Programmes_Matlab_poinsot.zip

Poin_dat.m	Fichier de données et d'initialisation, à exécuter en début de simulation
POINSOT.M	Programme de base du système différentiel donnant conjointement la rotation (p q r) et le quaternion d'attitude
Poin_sim.m	Simulation sous Simulink, avec mise en mémoire et sorties graphiques des résultats Notamment p, q puis solution = (W, Q) à 7 composantes, 3 pour la rotation, 4 pour le quaternion

Les résultats montrent bien que dans les axes ( p, q ) le diagramme est un cercle prouvant l'échange sans pertes de p et q. Les autres scopes montrent que p(t), q(t) sont des fonctions sinusoïdales. La rotation axiale reste constante dans le temps etc...

Le graphe ci contre montre la trajectoire de l'extrémité du vecteur unitaire z axe du gyro, en projection sur le plan XY. Ce cas correspond aux données : % Inerties satellite en kg-m² :% Ir=132; % It=132; % Il=7; % Initialisation en vitesses angulaires absolues (rd/s) :v_roulis0=0; v_tangage0=0.2; v_lacet0=pi/2; % Initialisation en position (rd) : roulis0=0; tangage0=0.3; lacet0=0;

Nb : Si on ne donne aucune vitesse angulaire, la trajectoire est un point, montrant que l'axe z reste fixe dans le repère absolu ( ce qui est l'application principale de ce mouvement). 

GUIZIOU Robert dernière correction mai 2011, sept 2011